A-Level数学篇：如何选择分部积分中的u&v

A-Level数学篇：如何选择分部积分中的u&v

积分在P4中是很多学生冲击高分的拦路虎，那其中最为头疼的就是分部积分了。分部积分是用于解决乘积形式函数的积分，最关键性的一步就是如何选择u&v。

对于u&v的选取需要满足两个基本要求：

1. v要容易求出；

2. ∫v du要比∫u dv容易求出。

那接下来我们就进一步探讨u的选择顺序并分析一些常见的问题和考点。

Find ∫xcosx dx

如若：令u=cosx  dv/du=x

根据分步积分公式：

∫xcosx dx= cosx+∫sinx dx

可以看出，积分更难进行，依然无法得到结果，所以u，v选择不恰当。

正确思路应该是：

Find ∫xcosx dx

let u=x → du/dx=1

dv/dx=cosx → v=sinx

using the integration by parts formula：

∫xcosx dx=xsinx - ∫sinx dx= xsinx + cosx + c

小结：如若被积函数是幂函数乘正余弦函数，那就令幂函数为u，使其降幂一次。

然而在考试当中，一定不会只有以上这一种分步积分的考察式，

其他如：Find ∫x2ex dx，∫x2 lnx dx， ∫exsinx dx

那我们又应该如何来选择u呢？

这里送给大家一个小口诀方便记忆：“反对幂三指”

意思是对于乘积形式函数的积分，u的优先选择顺序应该是：反三角函数，对数函数，幂函数，三角函数，指数函数，简称为“反对幂三指”。

所以  ∫x2ex dx，∫x2 lnx dx， ∫exsinx dx中的u分别对应的就应该是x2，lnx，sinx。

最后我们再一起来总结一下今天的学习，对于乘积形式的函数进行积分，做题准则是使用合适的分部u，更好的使函数容易积分，一个好的分部，是积分成功的前提，当然最重要的u的选取小秘诀“反对幂三指”也要烂熟于心哦！